Задать вопрос юристу

Исследование ф-ии.

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в этих точках.

3) Определить асимптоты графика и поведение функции на границе области определения.

4) Выяснить, является ли функция чётной, нечётной, периодической. При наличии какого-либо из этих свойств можно использовать симметрию при построении графика.

5) С помощью производной первого порядка найти промежутки возрастания и убывания, найти экстремумы функции.

6) С помощью производной второго порядка найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

7) Используя результаты исследования, построить график функции. При необходимости можно дополнительно найти значения функции в некоторых точках из тех промежутков, для которых предыдущие пункты исследования дали недостаточно информации. Их роль – проверка и уточнение построенного графика. Можно определить точки пересечения графика с осями координат, а также посмотреть,

какой угол составляет касательная графика с осью OX в некоторых точках графика и т.д.

Пример. Исследовать функцию и построить её график.

1) Функция определена при всех значениях x , кроме x = −1 .

2) Выясним характер разрыва функции при x = −1 . Для этого рассмотрим односторонние пределы функции в точке x = −1 :

Полученный результат говорит о том, что точка x = −1 является точкой разрыва 2-го рода для данной функции, а прямая с уравнением x = −1 – вертикальной асимптотой графика функции.

3) Ищем наклонные асимптоты:

Обратим внимание на то, что полученные результаты одинаковы как при

x → +∞ , так и при x → −∞ . Из существования этих конечных пределов следует, что график функции имеет двустороннюю наклонную асимптоту y = 0,5 x − 1 .

4) Чётной или нечётной функция f (x) не является, так как и видно, что f ( −x )≠ f ( x ) и f (−x )≠ − f ( x ).

Периодической функция тоже не является, так как среди элементарных функций периодическими могут быть только тригонометрические функции.

5) Вычислим производную 1-го порядка:

Приравнивая f ′( x ) нулю, получим критические точки 1-го рода:

Кроме того, f ′( x ) не существует при x = −1 . Отметим найденные точки на оси и в каждом из четырёх получен-

ных интервалов определим знак f ′( x ) (рисунок 15).

Итак, функция возрастает на интервалах ( −∞ ,−3 ) , ( −1 ,+∞ ) и убывает на интервале ( −3;−1 ) .

В точке x = −3 функция f ( x ) определена и производная f ′( x ) меняет знак

с «+» на «–», поэтому x = −3 – точка максимума. Значение функции в этой точке:

В точке x = −1 функция не определена и, хотя f ′( x ) меняет знак при пере-

ходе через эту точку, точка x = −1 не является точкой экстремума.

Точка x = 0 также не является точкой экстремума, так как f ′( x ) не меняет

знак при её переходе.

6) Вычислим производную 2-го порядка:

Приравнивая f ′′( x ) нулю, получим критическую точку 2-го рода: x = 0 .

Кроме того, f ′′( x ) не существует при x = −1 . Отметим эти две точки на оси и определим знаки f ′′( x ) на полученных интервалах (рисунок 16).

Итак, на интервале ( −∞ ,0 ) график функции выпуклый, на интервале

( 0 ,+∞ ) – вогнутый. При x = 0 график функции имеет перегиб. Так как

f ( 0 ) = 0 , то точка O( 0;0 ) – точка перегиба.

7) Используя полученные результаты, строим график функции (рисунок 17).

Для уточнения графика функции вычислены точки A( −2;−4 ) и

Этого графика.

Таблица производных

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Производная по направлению:

Градиент скалярного поля:

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

Таблица основных интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

<< |
Источник: Шпаргалка по Высшей математике. 2017
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме Исследование ф-ии.:

  1. 51. Исследования когнитивного диссонанса. Исследования мотивации власти. Исследования агрессии.
  2. Вопрос № 14 Фундаментальные педагогические исследования. Прикладные педагогические исследования. Исследования-разработки.
  3. Вопрос № 15 Метод исследования: определение, сущность. Место и роль методов исследования в структуре научного исследования.
  4. 5. Научные исследования в педагогике, их основные характеристики. Методы и логика педагогических исследований.
  5. 1. Исследования и их роль в научной и практической деятельности человека. Цель, объект и предмет исследования.
  6. №16 Порядок проведения исследования предметов и документов. Отличие исследования от экспертизы.
  7. 21. Основные характеристики экспериментального психологического исследования: процедуры организации и проведения исследования.
  8. Вопрос № 13 Определение, сущность и основные характеристики научного исследования. Классификация исследований.
  9. Методология психологического исследования. Нормативный процесс научного исследования.
  10. 11. понятие «метод психического исследования». Основные принципы научного исследования, их обоснование.
  11. 1.1 Понятие научного исследования. Виды исследований
  12. Классификация психологических исследований по содержанию и по цели. Реальное и идеальное исследование.
  13. Логика педагогического исследования. Методы исследования.
  14. Клинико-статистическое исследование. Особенности клинико-статистического исследования. Клинико-статистическое исследование - использование статистических методов при обработк
  15. 52. Социологические исследования персонала. Программа исследования
  16. 23. Понятие и значение этапов экспертного исследования. Сущность экспертного эксперимента и его отличие от сравнительного исследования.
  17. 2.Области клинических испытаний. Предпочтительный дизайн исследований. Дизайн когортного исследования.
  18. Вопрос 39. методы педагогических исследований. Теоретические и эмпирические методы исследования, их краткая характеристика.
  19. Предмет исследования операций. Основные этапы операционного исследования в экономике. Экономико-математические модели.
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -