6.4. Применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов

Хотя Mathcad позволяет вычислять кратные интегралы непосредственно, однако в большинстве случаев при кратности интегралов 3 и более применение метода Монте-Карло предпочтительнее. Дело в том, при одинаковой точности метод Монте-Карло дает существенный выигрыш во времени (в десятки и сотни раз), особенно при большой кратности интегралов.

Идея метода состоит в том, что интеграл заменяется величиной Fср.·V, где V – объем области интегрирования, Fср. –среднее значение подынтегральной функции, вычисленное по нескольким случайно выбранным точкам.

Определим подынтегральную функцию.

И вычислим интеграл обычным способом (обратите внимание на время счета!)

А теперь вычислит тот же интеграл методом Монте-Карло

Поскольку в нашем случае объем области интегрирования равен 1, полученное среднее значение совпадает со значением интеграла. При относительной погрешности в 0.001% время вычисления интеграла по методу Монте-Карло существенно меньше.

Интеграл можно вычислить и другим способом. Заключим область интегрирования внутрь прямоугольной области, "набросаем" внутрь полученной области N случайных точек. Тогда интеграл найдем из соотношения ,где N – общее число точек, n – число точек, лежащих внутри области интегрирования, V – объем области, включающей область интегрирования.

Максимальное значение подынтегральной функции в области интегрирования не превосходит 125, следовательно, мы может заключить всю область интегрирования внутрь четырехмерного цилиндроида высотой 125 и объемом V=125. Сгенерируем N четверок случайных чисел и подсчитаем, сколько из них лежит под поверхностью f(x,y,z).

<< | >>
Источник: Пособие по численным методам. 2017
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 6.4. Применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов:

  1. 22. Метод Монте- Карло
  2. 31. Имитационные модели. Метод Монте-Карло
  3. 48. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
  4. 24. применение теории вычетов к вычислению интегралов.
  5. №10. Методы вычисления неопределенных интегралов.
  6. Кратные интегралы.
  7. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
  8. Применение полного дифференциала для приближенных вычислений.
  9. 4.2 Вычисление определенных интегралов
  10. Приближенное вычисление определенных интегралов
  11. Уравнения для вычисления псевдостоимости в методе потенциалов;
  12. Глава 4. Вычисление определенных интегралов
  13. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
  14. 33 - Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
  15. 66.Применение дифференциала к приближенному вычислению
  16. 3 Наименьшее общее кратное
  17. 1.3.1 Классический метод вычисления вероятностей
  18. 42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
  19. 50. Вычисление ранга матрицы методом понижения.
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -