5.1.2. Решение систем дифференциальных уравнений.

Для решения дифференциальных уравнений Mathcad имеет ряд встроенных функций, в частности, функцию rkfixed, реализующую метод Рунге–Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом. Фактически эта функция предназначена для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения и его первые производные.

Аргументы функции:

· y – вектор начальных значений (n элементов).

· x1 и x2 – границы интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения.

· npoints – число точек внутри интервала (x1,x2), в которых ищется решение. Функция rkfixed возвращает матрицу, состоящую из 1+npoints строк.

· D – вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой функции.

В качестве примера рассмотрим решение системы Вольтерры–Лотки. Эта система описывает динамику численности хищников и жертв на замкнутом ареале и является одной из базовых моделей экологии.

Для решения систем дифференциальных уравнений используются функция rkfixed.

Внимание! В этом примере установлено значение ORIGIN=1, то есть нумерация элементов массива начинается с 1, а не с 0, как это принято в Mathcad'е по умолчанию.

Пусть в начальный момент времени число хищников и число жертв

Задаем вектор начальных значений

параметры системы

интервал времени и количество точек, в которых будет вычислено решение

и вектор правых частей системы. (Поскольку исходная система не зависит явно от времени t, функция D так же не зависит от времени явно хотя и содержит его в числе своих аргументов.)

Решаем систему с помощью встроенной функции

Представим на графике результаты расчета – зависимость численности популяций от времени

и зависимость числа жертв от числа хищников

Можно использовать обозначения или – это одно и то же.

Поскольку дифференциальное уравнение порядка выше первого может быть преобразовано к системе дифференциальных уравнений первого порядка, функция rkfixed может быть использована и для решения дифференциальных уравнений

<< | >>
Источник: Пособие по численным методам. 2017
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 5.1.2. Решение систем дифференциальных уравнений.:

  1. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами
  2. Решение систем дифференциальных уравнений
  3. 93.Линейные однородные дифференциальные уравнения. Решение уравнения.
  4. 18. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
  5. Решение дифференциальных уравнений
  6. Численные методы решения дифференциальных уравнений.
  7. 5.1.3. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутты
  8. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
  9. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения.
  10. Приближенное решение дифференциальных уравнений
  11. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения.
  12. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.
  13. 5.1.6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad
  14. 5.1.4. Решение дифференциальных уравнений второго порядка
  15. 18. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Частное и общее решение.
  16. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
  17. 5. Неоднородная система линейных уравнений. Свойства ее решений. Связь решений неоднородной системы линейных уравнений и соответствующей однородной системы.системы линейных неоднородных уравнений
  18. 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТИПЫ ДУ. ПОНЯТИЕ РЕШЕНИЯ ДУ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ. ЗАДАЧА КОШИ.
  19. Методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -