2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Изучение определенного интеграла начнем со следующей задачи. Пусть функция определена на отрезке Попробуем отыскать метод вычисления площади S фигуры (криволинейной трапеции) ограниченной осью Ox, прямыми и графиком функции (см. рис.2).
Рис. 2 Рис. 3
Рассмотрим несколько частных случаев. 1. Функция постоянна на В этом случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, и его площадь S равна длине основания умноженной на высоту , где - произвольная точка интервала (см. рис.3.): 2. Функция «почти постоянна», т.е. изменяется очень мало при движении x на В этом случае рассматриваемая фигура «почти прямоугольник» и ее площадь S приближенно равна площади прямоугольника с основанием и высотой где - произвольная точка из (см. рис.4.):
Рис. 4 Рис. 5
. При этом, данное равенство тем точнее, чем меньше изменения функции на отрезке . 3. Функция непрерывна на . Фактически это означает, что в достаточно близких точках отрезка значения функции различаются как угодно мало. Тем самым, несмотря на то, что в целом на отрезке функция может изменятся довольно сильно, мы можем разбить отрезок точками так, что на отрезках ) функция изменяется достаточно мало. Пусть - площадь фигуры, ограниченной осью Ox, прямыми и графиком функции . Тогда . Для фигур с площадью , в силу рассмотрений пункта 2, справедливо приближение , где точка отрезка При этом последнее приближение тем точнее, чем меньше изменения функции на Последнее же можно гарантировать, в силу непрерывности , выбирая отрезок достаточно малым. Таким образом, за счет малости отрезков , разбивающих отрезок , независимо от выбора точек , приближенное равенство можно сделать как угодно точным. Рассматривая последовательность разбиений отрезка на отрезки такую, что получаем точное равенство для непрерывных функций . Абсолютизируя эту конструкцию, рассматривая ее вне проблемы вычисления площадей (отказываясь от положительности и непрерывности функции на ), приходим к понятию определенного интеграла. Пусть функция определена на интервале . Выберем разбиение отрезка с помощью точек на более мелкие отрезки . Внутри каждого из последних отрезков выберем точку . Тогда число, равное , называется соответствующей интегральной суммой. Предел интегральных сумм для последовательности разбиений отрезка , когда стремится к нулю, (если таковой предел существует и не зависит от выбора разбиений отрезка и точек ) называется определенным интегралом от функции на отрезке . При этом считается, что . Один из первых вопросов, возникающих вслед за этим определением, - для каких функций существует ? Напомним, что функция называется кусочно непрерывной на , если отрезок можно разбить на конечное число отрезков, внутри каждого из которых функция непрерывна, а в концах этих отрезков имеет разрывы 1-го рода. Имеет место следующее утверждение. Теорема 3 Для любой кусочно непрерывной на функции существует определенный интеграл . Исходя из определения определенного интеграла , мы можем получить его приближенное значение с какой угодно точностью, выбирая достаточно мелкое (с малым ) разбиение .
На этом принципе построена целая иерархия приближенных методов вычисления определенных интегралов. Для примера мы приведем здесь лишь одну формулу - формулу Симпсона: ПРИМЕР 6. и по формуле Симпсона мы получаем приближенное равенство Отметим ряд свойств определенного интеграла, практически непосредственно вытекающих из его определения и полезных при его вычислении. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 2. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых: 3. Если на отрезке функции и удовлетворяют условию то 4. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на , то существует точка такая, что 6. Для любых трех чисел a, b, c имеет место равенство если только все эти интегралы существуют. Само понятие определенного интеграла, хотя и дает эффективные подходы к его приближенному вычислению, мало пригодно для точного непосредственного вычисления. Кроме того, естественным является вопрос о связи таких генетически разных, но лексически близких понятий как определенный и неопределенный интегралы. Ответ на эти вопросы содержится в следующем утверждении. Теорема 4 1. Если - непрерывная функция, то определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции , т.е. 2. Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) - произвольная первообразная для непрерывной на функции, то имеет место равенство В дальнейшем вместо будет удобнее писать . Пример 7 1) 2) Формула Ньютона-Лейбница лежит в основе следующих методов, полезных при вычислении определенных интегралов. 1. Замена переменных в определенном интеграле. Пусть - некоторая функция, определенная на отрезке . Введем новую переменную t по формуле . Пусть непрерывны на отрезке . Тогда . Пример 8 Для вычисления интеграла сделаем замену переменной: Таким образом, 2. Интегрирование по частям. Для любых непрерывно дифференцируемых на отрезке функций и имеет место равенство или, в обозначениях Пример 9 Пусть теперь функция определена и непрерывна на бесконечном интервале . Тогда, при любом b>a, значение интеграла определено и зависит от b. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от на интервале и обозначается через : src="/files/uch_group41/uch_pgroup76/uch_uch509/image/212.gif">=. В этом случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае, т.е. когда конечного предела для при не существует, говорят о расходимости несобственного интеграла . Аналогичным образом определяются следующие несобственные интегралы для других бесконечных интервалов. , где с - произвольное фиксированное число. Пример 10 1) . 2) Установить, при каких Пусть . Таким образом . Значит, если Если функция определена на интервале и при этом , то можно рассматривать несобственный интеграл от функции с бесконечным пределом. При этом под несобственным интегралом имеют ввиду конечное число если таковое существует (в этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится). В случае же отсутствия конечного предела говорим о расходимости несобственного интеграла. Пример 11 Вычислить, если он сходится, несобственный интеграл . Функция определена на интервале и при этом , т.е. мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным пределом. Таким образом, Важную роль в решении вопроса о сходимости (расходимости) несобственного интеграла играет теорема сравнения.
<< | >>
Источник: И.Я. Глазычев и др.. Установочные лекции по высшей математике. Неопределенный и определенный интегралы. Новосибирск, 1999. 1999
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:

  1. 10). Понятие определённого интеграла, основные свойства определённого интеграла, его вычисление.
  2. 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИНТЕГРАЛА РИМАНА.
  3. Приближенное вычисление определенного интеграла.
  4. Вычисление определенного интеграла.
  5. Билет №4 Вычисление определенного интеграла.
  6. 69.Определенный интеграл, его свойства и простейшие методы интегрирования.
  7. 41. Определенный интеграл.
  8. 71.Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
  9. Определенный интеграл.
  10. 47. Свойства определенного интеграла,
  11. Свойства определенного интеграла.
  12. Определение интеграла по фигуре.
  13. Билет №3 Определенный интеграл.
  14. Свойства определенного интеграла.
  15. 67.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
  16. 73.Приложения определенного интеграла к решению геометрических и механических задач.
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -