1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Мы начнем разговор об интегралах с воспоминания об изученном Вами в прошлом семестре понятия производной.
Если функция определена в некоторой окрестности точки , то предел отношения приращения функции к приращениюаргумента, когда последний стремится к нулю, называется производной функции в точке . Если производная функции существует в любой точке некоторого интервала то тем самым у нас есть некоторый способ (дифференцирование функции) построения по одной функции , определенной на интервале , новой функции , определенной на этом же интервале. Естественным образом возникает вопрос об обратном построении: по заданной на интервале функции требуется найти, если это возможно, такую функцию , определенную на интервале , что . Процесс решения этой задачи называется интегрированием функции .
? дифферен-цирование
Ü интегрирование
Рис. 1
Любая функция такая, что равенство имеет место для любого , называется первообразной для функции на интервале . Таким образом, решением задачи интегрирования функции на интервале является любая первообразная функции на . В силу этого, прежде всего возникает вопрос о существовании первообразной для функции на интервале , и второй вопрос, в случае положительного разрешения первого - о числе таковых первообразных. В прошлом семестре мы с Вами видели, что разрешение задачи дифференцирования функции не всегда имело место, даже если функция непрерывна на интервале . Но с другой стороны, в силу определения производной, решение задачи дифференцирования, в случае его существования, единственно. Иначе обстоит дело с решением задачи интегрирования. Теорема 1 а) Если функция непрерывна на интервале , то существует первообразная функции на этом интервале. б) Если на интервале для функции существует хотя бы одна первообразная, то таковых первообразных для функции будет бесконечно много и все они будут отличатся друг от друга на константу. Иначе говоря, если на интервале ( является первообразной для на ), то (где - произвольная постоянная) также является первообразной для на и , более того, для любой первообразной данной функции на найдется константа такая, что равенство имеет место в любой точке интервала (см. рис.1). Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом для функции и обозначается через . Таким образом, следующие два равенства равносильны для любых функций и : и , где - произвольная постоянная. Точно так же, в силу приведенных определений, справедливы равенства , . Известная таблица производных основных элементарных функций, вкупе с определением интеграла, позволяет написать таблицу интегралов для некоторых часто встречающихся функций (для производных основных элементарных функций). Мы приведем эти таблицы параллельно.
(при )
.
Известные нам правила дифференцирования функций (правила дифференцирования суммы функций, произведения, сложной функции) влекут соответствующие правила, справедливые для процесса интегрирования функций. 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых: . 2. Константа выносится за знак интеграла . 3. Правило интегрирования с помощью замены переменной:
если , то . (*)
Это свойство лежит в основе сложности обозначения неопределенного интеграла, где помимо знака и указания на интегрируемую функцию использовано также обозначение дифференциала .
Вспомнив, что дифференциал функции равен , мы можем переписать равенство (*) в виде
. (**)
Вводя в рассмотрение новую (уже зависящую от x) переменную u, с помощью равенства u=h(x) вместо (**) мы получаем . Таким образом, импликация (*) может быть сформулирована следующим образом: если , то равенство имеет место и для любой, в частности, зависящей от x переменной u. В конце концов, мы получаем следующий алгоритм интегрирования, соответствующий правилу дифференцирования сложной функции: если , то . 4. Интегрирование по частям
. (***)
Используя, как и выше, новые (зависящие от x) переменные u, v для функций h(x) и g(x) соответственно, перепишем равенство (***) в следующем виде: . В конечном итоге, практическое использование метода интегрирования по частям (правила дифференцирования произведения) сводится к следующей цепочке равенств: Приведенные правила интегрирования позволяют полученную нами выше таблицу интегралов (полученную непосредственно из таблицы производных основных элементарных функций) переписать в некотором более естественном и более общем виде.
; (при ) ;
; ;
;
; ;
; .
Продемонстрируем теперь приведенные выше способы интегрирования на примерах. Пример 1 а) б) в) г) ; е) ж) з) и) Таким образом, имеет место равенство Так как определен с точностью до производной константы С, то вышеприведенное равенство влечет равенство и тем самым Последнее же, в силу произвольности константы С, равносильно равенству Несколько особняком стоит способ интегрирования так называемых рациональных дробей, т.е. функций, являющихся частным двух многочленов: , где ; . Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя (n, где квадратные трехчлены не имеют действительных корней. Справедлива следующая Теорема 2 Если - указанное выше разложение многочлена Q(x), то правильная рациональная дробь может быть представлена в виде = Числовые коэффициенты определяются из следующих соображений. Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и суммируя их, на следующем этапе получаем равенство многочлена P(x) и числителя T (x) правой части нового равенства . Заметим, что коэффициенты многочлена T(x) зависят от констант Наконец, приравнивая коэффициенты многочленов P(x) и T(x) при равных степенях x, получаем систему уравнений (относительно констант ), из которых и находим искомые численные значения для Пример 2 ; , Решая систему, получаем, что Таким образом, Итак, интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших рациональных дробей. В связи с этим отметим, основываясь на доказанном ранее, что По поводу интегрирования простейших рациональных дробей вида при отсылаем читателя к более подробным учебникам. Пример 3 Таким образом, Если интегрируемая функция получается из некоторой рациональной дроби подстановкой вместо переменной x корней различной степени из выражения то замена - наименьшее общее кратное всех показателей корней , встречающихся в записи функции , сводит вопрос интегрирования функции к вопросу интегрирования рациональной дроби. Пример 4 Если функция получается из некоторой рациональной дроби подстановкой вместо переменной x тригонометрических функций , то с учетом равенств можно считать, что функция получается из некоторой рациональной дроби подстановкой вместо x функции . В этом случае замена сводит вопрос интегрирования функции к интегрированию рациональной дроби. Пример 5 Получив интеграл от рациональной дроби и проинтегрировав его, как это было рассмотрено выше, имеем равенство Возвращаясь к переменной x, получаем, что
| >>
Источник: И.Я. Глазычев и др.. Установочные лекции по высшей математике. Неопределенный и определенный интегралы. Новосибирск, 1999. 1999
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:

  1. 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИТЕГРАЛОВ.
  2. 22. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
  3. 1). Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица основных неопределённых интегралов.
  4. Неопределенный интеграл.
  5. 59.Неопределенный интеграл и его свойства.
  6. Неопределенный интеграл.
  7. 88. первообразная и неопределённый интеграл.
  8. Свойства неопределённого интеграла.
  9. 23. Основные методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственно, по частям, способом подстановки.
  10. 40.Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрир.подстановкой и по частям.
  11. 41. Неопределенный интеграл и его свойства.
  12. 14.Неопределенно-личные предложения. Понятие «неопределенный деятель».
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -