Вычисление пределов.

При вычислении пределов используют то, что предел постоянной равен самой постоянной, а также основные теоремы о пределах. Рассмотрим вычисление пределов на примерах.

Пример 1.

Применяя теоремы о пределах, получаем:

Пример 2.

Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, получаем:

Пример 3.

Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю. В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины х2-2х+1, отличной от нуля на бесконечно большую величину при х ® 3 как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому

Пример 4.

Здесь также нельзя непосредственно применять теорему о пределе частного, т.к. пределы знаменателя и числителя равны нулю и мы имеем неопределенность вида . В подобных случаях, когда и в числителе и в знаменателе – многочлены, их необходимо разложить на множители, после этого дробь сократить и перейти к пределу:

Пример 5.

Здесь также неопределенность вида .

Пример 6.

Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности вида необходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, а иногда и то и другое, полученную дробь сократить и перейти к пределу:

Пример7.

При х ® 0 переменная х есть бесконечно малая величина, а ï ï£ 1 при любых значениях х?0.

Следовательно, величина - произведение бесконечно малой на ограниченную величину – также будет бесконечно малой величиной, поэтому ее предел равен 0.

Пример 8.

Теорему о переделе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель конечного предела не имеют. Имеем неопределенность . В подобных случаях для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу:

Пример 9.

Для раскрытия подобных неопределенностей используется первый замечательный предел:

Неопределенность вида ¥ – ¥ раскрывается путем преобразования и сведения их к неопределенности или .

Пример 10.

Пример 11.

Здесь следует рассмотреть два случая:

а)

б)

Пример 12.

Неопределенность вида сведем к неопределенности вида :

Пусть функция имеет такой вид:

y = [f(x)]j(x)

Если при х ® а (х ® ¥) f(x) ® 1, а j(х) ® ¥, то говорят, что имеем неопределенность вида 1¥. Для раскрытия этой неопределенности используется второй замечательный предел.

Пример 13.

Пример 14.

<< | >>
Источник: Пределы и непрерывность.. 2017
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме Вычисление пределов.:

  1. Занятие 5 Вычисление пределов при использовании эквивалентностей
  2. 39. Приложение производной к вычислению пределов. (Правило Лопиталя).
  3. Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания «Вычисление пределов»
  4. Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя. Лекция, 2017
  5. 72 Распределенные вычисления. Синхронные параллельные процессы в научных вычислениях.
  6. 5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
  7. 11.Теорема о пределе суммы, произведения, и частной функции. Предел функции на бесконечности. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
  8. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.
  9. 3. Предел числовой последовательности Теорема о единственности предела. Критерии Коши.
  10. 12. Односторонние пределы. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
  11. 10 - Односторонние пределы. Предел функции при x→∞.
  12. 34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.
  13. 14. а)Если существует конечный предел, то этот предел называют несобственным интегралом от ф-ции f(x) на интервале[a, +4). .
  14. 29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.
  15. 6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах.
  16. 21.Понятие функции. Предел функции при х→∞. Предел функции при х→а. Непрерывность функции в точке. Замечательные пределы.
  17. 3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
  18. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах.
  19. 10. Два определения предела функции в точке. Теорема об эквивалентности определений пределов функции в точке.
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -