8. Базис пространства. Теорема о представлении вектора как линейной комбинации базиса.

Базисом n-мерного векторного пространства называется любая совокупность n линейно независимых векторов этого же пространства.

Теорема: Любой вектор n-мерного векторного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса, причем единственным образом.

Док-во: Пусть - базис n-мерного векторного пространства. Система векторов состоит из n+1 векторов, поэтому является линейно зависимой и для нее выполняется соотношение:

, где не все . Число , т.к в противном случае вектора не являлись бы базисом. Тогда: т.е. А является линейной комбинацией векторов базиса. Пусть , , … , , тогда - коэффициенты разложения А по векторам базиса.

Докажем единственность разложения. Предположим, что существует другое разложение вектора А по векторам того же базиса:

Вычитая из предыдущего разложения последнее, получаем:

Так как вектора - базис то: ,

Т.е. разложение единственно.

<< | >>
Источник: Шпаргалка - Математические методы и модели исследования операций. 2016
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 8. Базис пространства. Теорема о представлении вектора как линейной комбинации базиса.:

  1. Векторное пространство его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.
  2. 65. Теорема: Два базиса одного и того же линейного пространства содержат одинаковое количество векторов.
  3. 59. Теорема: Всякий вектор линейного пространства V можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов.
  4. Ортогональный вектор. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема и существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
  5. Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
  6. № 35.Базис и лин комбинация в векторном пространстве
  7. 8. Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов.
  8. Векторы. Операция над векторами. N- мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
  9. 5.Базис множества всех векторов в трехмерном пространстве.
  10. 5.Базис множества всех векторов в трехмерном пространстве.
  11. 58. Первое определение базиса в линейном пространстве.
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -