3.Достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения.

Признаки сравнения рядов.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема1.

Пусть даны два знакоположительных ряда и

Если для всех n выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Обозначим n-е частичные суммы рядов и соответственно через и . Из неравенства следует, что

Пусть ряд сходится и его сумма равна . Тогда . Члены ряда положительны, поэтому и, следовательно, с учетом неравенства . таким образом, последовательность () монотонно возрастает () и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательность

имеет предел , т.е.

ряд сходится.

Пусть теперь ряд расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем . Тогда с учетом неравенства получаем , т.е. ряд расходится.

Теорема2(предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0, предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого выполняется неравенство , или .

Если ряд сходится, то из левого неравенства и теоремы1 вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству1 числовых рядов, ряд сходится.

Если ряд расходится, то из правого неравенства , теоремы1, свойства 1 вытекает, что ряд расходится.

Аналогично, если ряд сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд .

<< | >>
Источник: Шпаргалка по дифференциальному исчислению. 2016
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 3.Достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения.:

  1. 7. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
  2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
  3. 16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
  4. 54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предель­ный признак сравнения.
  5. 85.Признаки сравнения. Признак Коши.
  6. ТЕОРЕМА 9 (Признак абсолютной сходимости)
  7. 14. Знакоположительные ряды. Признаки сходимости.
  8. ТЕОРЕМА. (Второй признак сходимости)
  9. Признаки сходимости числовых рядов
  10. ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -