20.Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x;y), т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

Т-ма. Для того, чтобы выражение Δ= P(x;y)dx+Q(x;y)dy, [ P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные и непрерывны] было полным дифференциалом, НиД =

Необходимость

Пусть Δ есть полный дифференциал, т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

Учитывая, что du(x;y)= dx+ dy, имеем:

P(x;y)= ; Q(x;y)= .

Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем

= и =.

А так как смешанные частные производные и равны между собой, получаем = .

Достаточность //желательно прям быстро, но чтобы я успевала, т.к. материалом я не владею((

Пусть в области D выполняется условие = . Покажем, что существует функция u(x;y) в области D такая, что du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy. Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям: =P(x;y) и =Q(x;y).

Если в уравнении =P(x;y) зафиксировать у и проинтегрировать его по х, то получим: u(x;y)= . Здесь произвольная постоянная с= зависит от у . Для нахождения продифференцируем данную функцию по у:

.

Используя второе равенство =Q(x;y), можно записать:

.

Отсюда .

В этом равенстве левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от у.

Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что производная равна 0. Действительно,

= =

= в силу условия = .

Из равенства находим :

, с-const.

Подставляя найденное значение для в равенство u(x;y)= , находим функцию u(x;y) такую, что du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Т.об., при решении ДУ вида P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 сначала проверяем выполнение условия = . Затем, используя равенства =P(x;y) и =Q(x;y), находим функцию u(x;y). Решение записываем в виде u(x;y)=с.

<< | >>
Источник: Шпаргалка по дифференциальному исчислению. 2016
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 20.Уравнения в полных дифференциалах.:

  1. Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
  2. 5. ДУ в полных дифференциалах. ДУ 1-го порядка, неразрешенные относительно производной
  3. 16. ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. УСЛОВИЕ ЭЙЛЕРА. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ.
  4. Понятие о дифференциале.
  5. 34 - Дифференциалы высших порядков.
  6. 27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
  7. Производные и дифференциалы высшего порядка
  8. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.
  9. Формирование отпускной цены предприятия на основе метода полных затрат.
  10. Производные и дифференциалы высших порядков.
  11. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
  12. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
  13. Калькулирование себестоимости с распределением полных издержек по продуктам.
  14. 19. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДУ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА.
  15. 36. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Нахождение функции по её полному дифференциалу.
  16. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами
  17. Вопрос 2. Полнота, примеры полных систем. Полином Жегалкина.
  18. Уравнение (1) будет называться уравнением гиперболического типа если
  19. Обыкновенные диф. уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Лин.ур.
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -